Systèmes (1) - Corrigé

Énoncé

Clara prépare la rentrée scolaire pour ses trois enfants.

Pour Anna, elle a acheté neuf cahiers, une trousse et cinq stylos pour un total de 48,60 €.
Pour Benjamin, qui a conservé sa trousse, elle a acheté onze cahiers et sept stylos pour un total de 45,20 €. 
Pour Tom, elle a acheté un seul cahier, deux trousses et 18 stylos pour un total de 52,75 €.

1. On note  $x$  le prix d'un cahier,  $y$  le prix d'une trousse et  $z$  le prix d'un stylo. Modéliser la situation de l'énoncé à l'aide d'un système. Tous ces prix sont exprimés en euros.
2. Traduire ce système sous forme matricielle et le résoudre à l'aide de la calculatrice pour retrouver le prix de chacun des objets.

Solution  

1. L'énoncé est modélisé par le système d'équations :
$\{\begin{array}{l}9x+y+5z=48,6\\ 11x+7z=45,2\\ x+2y+18z=52,75\end{array}$

2. Il s'agit d'un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues.
On peut donc l'écrire sous forme matricielle :  $AX=B$  avec  $A=\left(\begin{array}{ccc}9& 1& 5\\ 11& 0& 7\\ 1& 2& 18\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ et  $B=\left(\begin{array}{c}48,6\\ 45,2\\ 52,75\end{array}\right)$ .
Pour le résoudre, on vérifie avec la calculatrice que  $A$  est inversible et, toujours avec la calculatrice, on calcule son inverse.
$\text{det}(A)=-207\ne 0$  donc  $A$  est inversible. 
$X=A^{-1}B$    permet de trouver  $X=\left(\begin{array}{c}3,25\\ 12,6\\ 1,35\end{array}\right)$ .
Le prix unitaire d'un cahier est de 3,25 €, le prix unitaire d'une trousse est de 12,60 € et le prix unitaire d'un style est de 1,35 €.